1979. 找出数组的最大公约数

快评

gcd(最大公约数)是算法入门问题,难度属于课后作业的水平,但确是很经典的。切记不要使用蛮力遍历,大数BigInt下辗转相除法+位运算可以得到不错的速度提升,但是非BigInt大数据量下辗转相除法资源消耗更小更快。

对于存在大素数的情况,可以参考Stein算法:

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 (注:说到抛弃除法和取模,其实辗转相除法可以写成减法的形式)
Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
有了上述规律就可以给出Stein算法如下:
如果A=0,B是最大公约数,算法结束
如果B=0,A是最大公约数,算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn /2,Cn+1 =Cn *2(注意,乘2只要把整数左移一位即可,除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数,Bn不是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1 =Bn /2,An+1 =An ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数,则An+1 =|An -Bn|,Bn+1 =min(An,Bn),Cn+1 =Cn
n++,转4
这个算法的原理很显然,不再证明了。

解题思路

非大数,小数据量下辗转相除法相对辗转相除法更快一些。

file

代码

// 辗转相除法+位运算
// func gcd(n1 int, n2 int) int{
//     factor := 1
//     if n1&1 == 0 && n2&1 == 0{
//         n1=n1>>1
//         n2=n2>>1
//         factor=2
//     }else{
//         if n1&1 == 0{ // 偶数
//             n1=n1>>1
//         }
//         if n2&1 == 0{
//             n2=n2>>1
//         }
//     }
//     if n1>n2{
//         res := n1-n1/n2*n2
//         if res == 0{
//             return factor*n2
//         }
//         return factor*gcd(n2, res)
//     }else{
//         res := n2-n2/n1*n1
//         if res == 0{
//             return factor*n1
//         }
//         return factor*gcd(n1, res)
//     }
// }

// 辗转相减法+位运算
func gcd(n1 int, n2 int) int{
    factor := false
    if n1&1 == 0 && n2&1 == 0{
        n1=n1>>1
        n2=n2>>1
        factor=true
    }else{
        if n1&1 == 0{ // 偶数
            n1=n1>>1
        }
        if n2&1 == 0{
            n2=n2>>1
        }
    }
    if n1==n2{
        if factor{
            return n1*2
        }
        return n1
    }
    if n1>n2{
        if factor{
           return gcd(n1-n2, n2)*2 
        }
        return gcd(n1-n2, n2)
    }else{
        if factor{
return gcd(n2-n1, n1)*2
        }
        return gcd(n2-n1, n1)

    }
}

func findGCD(nums []int) int {
    if len(nums)==2{
        if nums[0]>nums[1]{
            return gcd(nums[0], nums[1])
        }else{
            return gcd(nums[1], nums[0])
        }
    }

    min := nums[0]
    max := nums[0]
    for _, n := range nums{
        if n<min{
            min = n
        }else if n>max{
            max = n
        }
    }

    return gcd(max, min)
}

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